Тетраэдр - что это такое?

Тетраэдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Два ребра тетраэдра, которые не имеют общих вершин, называются противоположными.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

• равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
• каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из условий:
  • Существует сфера, касающаяся всех ребер.
  • Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
  • Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
  • Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
  • Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные.
  • Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
• инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.